Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Определение числовой последовательности

Числа  - элементы или члены последовательности (1)

Символ  - общий член последовательности,

А число n – его номер (1, 2, 3, 4, …, n, …)

Сокращенно последовательность (1) обозначается 

Формула, задающая  , называется формулой общего элемента (или члена)последовательности 

Например, последовательность  задана формулой = . С помощью этих формул можно вычислить любой элемент

последовательности: =1, =4, =9, …,  =100 и т.д.

Вычислите:

Можно, зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу для общего элемента последовательности,

например: 1, , , , …, т.е. знаменатели данной последовательности образуют последовательность из квадратов нечетных

натуральных чисел, следовательно, можно выбрать формулу:

Формула, задающая  не является единственной.

Последовательность  является заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Часто используется рекуррентный способ задания последовательности :

1. дается первый элемент последовательности или несколько первых элементов;

2. формула (или рекуррентное соотношение), указывающая, какие действия нужно выполнить, чтобы вычислить следующий элемент,

или несколько следующих элементов.

Таким образом, чтобы задать последовательность, недостаточно написать только рекуррентное соотношение, необходимо указать

также начальные члены последовательности.

Действия над последовательностями:

учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ.

учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Формулы производных основных элементарных функций

Правила вычисления производных

При вычислении производных  применяются следующие правила:     Видеоразбор на канале в Телеграмм

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Например:

2. Производная суммы и разности функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

3. Производная произведения функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

4. Производная частного двух функций. Если функция U(x) и V(x) имеют производные во всех точках интервала (a; b), то

Например:

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному

числу n поставлено в соответствие действительное число  .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена

т.е.  для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} > x_{n  ,}  например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют убывающей последовательностью, 

если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена

т.е. для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_n +1 < x_n , например, последовательность   заданная формулой   

 является убывающей последовательностью.

Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ,       n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

• Возрастающие и убывающие числовые последовательности  называют монотонными  последовательностями.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n < M

• Числовую последовательность   x₁ ,  x₂ , … x_n , … называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m: для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n² , … заданная формулой x_n = n²,       n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0.  Однако эта последовательность неограничена сверху.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство m < x_n < M

Например, последовательность    заданная формулой   является ограниченной последовательностью,

поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство   

•  Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.      

• Число   a   называют пределом числовой последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , …  если для любого

положительного числа   ε>0   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовлй последовательности    a₁ ,  a₂ , … a_n , … , записывают с помощью обозначения

(читается как: «Предел   a_n   при   n,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».) То же самое соотношение можно записать

следующим образом: a_n → a   при  (читается как: «a_n   стремится к   a   при   n,   стремящемся к бесконечности»).

Замечание. Если для последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , … найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при ,

то эта последовательность ограничена

Свойства пределов различных последовательностей

Последовательность  a₁ ,  a₂ , … a_n , … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C  

найдется такое натуральное число   N,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … , стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения         или с помощью

обозначения  при 

1.  Для любого числа   k > 0   справедливо равенство  

2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство   

3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство         

4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство             

5 . Последовательность – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена  a_n = (– 1)ⁿ , предела не имеет.

      Рассмотрим две последовательности

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при    существуют такие числа   a   и   b ,  что

   и   

 существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

 Если, кроме того, выполнено условие      то при  существует предел дроби     причем

Нахождение пределов числовых последовательностей

Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремится к 

то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 

Часто неопределенность типа  удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки

«самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены,

«самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби,

а также, используя свойства пределов последовательностей    при |а|<1,  получаем

      Ответ. 

Видеоразбор заданий на Телеграмм канале по #производная

Производная алгебраических функций

1. Найти производную функции       

Используем формулу 2 таблицы производных элементарных функций

2. Найти производную функции 

3. Найти производную функции

4. Найти производную функции

           Используем формулу 1 и 2 таблицы производных:

При нахождении предела функции часто возникает необходимость раскрытия неопределенностей. Здесь можно провести тождественные преобразования или применить так называемые замечательные пределы.

Второй замечательный предел:

Или

Примеры

При нахождении пределов с помощью второго замечательного предела, нужно провести преобразования выражения

таким образом, чтобы можно было применить формулу.

Видеоразбор задачи на канале Телеграмм

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

1. Найдем производную функции:  
2. Приравняем производную к нулю для определения точек экстремума на отрезке:

      Значит, критические точки   

3. Определим, принадлежат ли критические точки отрезку :

Обе точки принадлежат данному отрезку.

(Если точки не принадлежат отрезку, то значение функции находят только на концах отрезка!)

4. Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка и сравним результаты:

   ;

Значит, наибольшее значение функции

 а наименьшее значение функции

Ответ: