Комплексные числа

Числа вида z=a+bi, где  a и b – действительные числа, а  i – мнимая единица называются комплексными

i – мнимая единица

i² = -1,

i

Рассмотрим степени числа i

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² * i = -1 * i = - i

i⁴ = i² * i² = -1 * (-1) = 1

Данная последовательность степеней числа i повторяется

Используя закономерность, легко найти значение степени числа i

Задачи на нахождение значения степени i

Найти i²⁸

Найти i³³

Найти i¹³⁵

Найти i⁶⁶

Число а – действительная часть комплексного числа (Re z)

bi – мнимая часть комплексного числа (Im z)

b – коэффициент при мнимой части

Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа

Противоположные комплексные числа: z=a + bi     и    –z= – a – bi

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

z₁=2 + 3i

z₂=5 – 7i

1. Сложение

сложить действительные и мнимые части чисел

z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i + (-7i))= 7 – 4i

2. Вычитание

вычесть действительные и мнимые части

z₁ –  z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = (2 – 5) + (3i – (-7i)) = - 3 + 10i

3. Умножение

по правилу умножение многочленов («фонтанчиком»)

z₁ * z₂ = (2 + 3i) * (5 – 7i) = 10 – 14i + 15i – 21i² = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31+ i

 (– 21i²) = - 21 *(-1) т.к. i² = -1

При выполнении умножения можно использовать формулы сокращенного умножения

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью

4. Деление

Чтобы выполнить деление двух комплексных чисел, нужно и делимое и делитель умножить на комплексное число,

сопряженное делителю, например:

При решении учитываем i² = -1

Следующий пример:

Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицательный

На множестве С любое квадратное уравнение имеет корни

Пример:

Решить уравнение на множестве комплексных чисел

Таким образом, уравнение        на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня:  

Решить уравнение: