Действия над комплексными числами (в тригонометрической и показательной форме)

  – тригонометрическая форма записи комплексного числа

  – показательная форма записи комплексного числа

(Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие))

При решении примеров надо знать значения тригонометрических функций. Как найти значения тригонометрических функций► пройди по ссылке⇒

https://math4everyone.info/math/kak-najti-znacheniya-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa-s-pomoshyu-edinichnoj-okruzhnosti/

Примеры

Даны комплексные числа

Найти:

Решение:

Даны комплексные числа

Найти:

Решение:

Как изобразить комплексное число на координатной плоскости

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на координатной плоскости точкой Z с координатами (a;b)

Действительные часть числа координата Х=а откладывается по оси абсцисс – ОХ (действительная ось),

мнимая часть числа координата У=b по оси ОУ (мнимая ось)

Комплексное число также можно изобразить в виде вектора        с началом в точке О(0;0) и концом в точке Z(a;b)

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора   с началом в точке О(0;0) и концом в точке Z(a;b)

Модуль комплексного числа – это длина вектора  , которую можно найти по формуле

Аргумент комплексного числа – это угол ᵠ , который образует вектор  с положительным направлением оси абсцисс (ОХ)

Величину этого угла можно найти из соотношений в прямоугольном треугольнике

Из соотношений следует    

Тогда мы получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

Окончательно

Как перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

1. Найти модуль комплексного числа r

2. Определить в какой четверти координатной плоскости находится точка Z, чтобы найти ᵠ

3. Составить уравнение                 и найти угол ᵠ
4. Записать комплексное число z в тригонометрической форме

Например:

Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

1. a=1, b= - 1

Точка Z находится в IV четверти

Этим соотношениям соответствует в IV четверти угол     

4. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа:

Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение:

1. a= -1, b=   

Точка Z находится во II четверти

Этим соотношениям соответствует во II четверти угол      или 120^о

4. Запишем тригонометрическую форму комплексного числа:

   или   

Для самоподготовки

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)