Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

УРОК 2

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Неравенство f(x) v 0 называют по типу функции  f(x). Линейным неравенством называют неравенство вида ax + b v 0, т.к. функция f(x) = ax + b – линейная.

Рассмотрим несколько примеров

1. Открытый банк данных заданий ОГЭ/ Математика

Перенесем в левую часть неравенства члены, содержащие х, а числа соберём в правой части:

– х – х ≥ – 6 + 3 (при этом изменив знаки таких членов и чисел на противоположные, а знак неравенства сохраняем)

В каждой части неравенства приведем подобные члены:

– 2х ≥ – 3

Чтобы найти решение, разделим обе части неравенства на  отрицательное число (– 2), при этом поменяем знак неравенства:

х ≤ 1,5

           (куда указывает носик знака – это и есть решение)

Ответ: 1)

2. Неравенство

Избавимся от знаменателей дробей, умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей дробей

НОК (6, 3, 2) = 6, число положительное, значит знак неравенства сохраняется

получим равносильное неравенство

2х – 7 + 2(7х – 2) ≤ 18 – 3(1 – х)    раскрываем скобки

2х – 7 + 14х – 4 ≤ 18 – 3 + 3х  приводим подобные слагаемые

16х – 11 ≤ 15 + 3х     переносим, члены, содержащие х в левую часть неравенства, числа – в правую часть, при этом поменяв их знаки на противоположные, и сохраним знак неравенства

16х – 3х ≤ 15 + 11 приводим подобные слагаемые

13х ≤ 26     разделим обе части неравенства на положительное число 13  и получим

х ≤ 2 

3. Двойное линейное неравенство

Из всех частей неравенства вычтем число 3 и сохраним знаки неравенства

Умножим все части неравенства на отрицательное число    и изменим знаки неравенства на противоположные:

  получим равносильное неравенство

  или

УРОК 3

КВАДРАТНЫЕ (КВАДРАТИЧНЫЕ) НЕРАВЕНСТВА

Квадратным (квадратичным) неравенством называют неравенство вида

ax² + bx + c  v  0, так как функция f(x) = ax² + bx + c  квадратная или квадратичная.

Один из способов решения квадратных неравенств с помощью графика

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

1. Определяют направление ветвей параболы: при a>0 – вверх, при a<0 – вниз;
2. Находят дискриминант D = b² – 4ac квадратного трехчлена

ax² + bx + c и определяют, имеет ли трехчлен корни (D≥0 – имеет корни, D<0 – не имеет корней);

3. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси абсцисс. Построить эскиз параболы с учетом направления ветвей.

Если трехчлен не имеет корней, построить эскиз параболы, расположенной в верхней полуплоскости при a>0 и в нижней полуплоскости при a<0, 

с учетом направления ветвей;

4. Находят на оси х промежутки, для которых выполнено данное неравенство.

Решить неравенство:

Рассмотрим функцию 

1. а = 6 > 0 – ветви параболы направлены вверх
2. D = b² – 4ac = (-1)² – 4*6*(-1) = 25 > 0 – имеет 2 корня

3. Эскиз параболы  

4. Функция      принимает неположительные значения на промежутке     (часть графика расположена под осью ОХ), промежуток   является решением данного неравенства.

Решить неравенство

Рассмотрим функцию    

1.      – ветви параболы направлены вниз
2. Найдем корни уравнения   умножим обе части уравнения на 3, получим    , отсюда

х = 3 – единственный корень. Парабола касается оси абсцисс в точке х = 3

3. Эскиз параболы

4. Функция     принимает неотрицательное значение только в одной точке х = 3, поэтому данное неравенство имеет единственное решение х = 3.

Решить неравенство

Рассмотрим функцию  

Раскроем знак модуля:

При  , ветви параболы направлены вверх, х₁ = -1, х₂ = 3

При  , участок параболы АВ отображаем зеркально вниз и получаем график функции

Неравенство   выполняется для отдельной точки х = -1 и в промежутке  

Решение неравенства   

Обратите внимание на форму записи ответа. Ответ принято записывать в виде числовых промежутков в порядке возрастания.