Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

УРОК 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим неравенство f(x) v 0

f(x) – функция, зависящая от переменной х

v – знак сравнения (>, <, ≥, ≤)

Решением этого неравенства (или частным решением) называют такое значение переменной х, которое обращает неравенство f(x) v 0 в верное числовое неравенство.

Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или решением) неравенства.

Например,

2х – 3 ≥ 0

Являются ли числа 3; 1,6    – частным   решением данного неравенства?

Для ответа на этот вопрос необходимо подставить эти решения в данное неравенство

х = 3 => 2*3 – 3 ≥ 0 => 6 – 3 ≥ 0 => 3 ≥ 0

х =1,6 => 2*1,6 – 3 ≥ 0 => 3,2 – 3 ≥ 0 => 0,2 ≥ 0

Решив неравенство 2х – 3 ≥ 0, найдем общее решение.

Числа х, удовлетворяющие условию х ≥ 1,5 являются общим решением данного неравенства (куда смотрит уголок знака, та часть числовой прямой  и заштриховывается)

РАВНОСИЛЬНОСТЬ НЕРАВЕНСТВ

Два неравенства f(x) v g(x)  и  r(x) v s(x)  называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют

(любое частное решение первого неравенства является частным решением второго и наоборот).

При решении сложное неравенство заменяют на равносильное ему более простое. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства.

Для этих преобразований используют три правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства, например:

3х + 4 < х²    равносильно неравенству: - х² + 3х + 4 < 0 (перенесли х² в левую часть с противоположным знаком и знак неравенства сохранили)

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства,

например:

16х + 8 < 20х²   равносильно неравенству 4х + 2 < 5х² (обе части неравенства разделили на 4, знак неравенства сохранили).

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак неравенства,

то получим неравенство, равносильное данному, например:

 , умножим левую и правую часть неравенства на выражение

   - положительное при любых значениях х, получим равносильное неравенство

2х – 3 ≥ 0 (знак неравенства сохраняется)

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, например:

- 3х² - 5х + 1 ≥ 0, равносильно неравенству

  3х² + 5х - 1 ≤ 0, т.к. обе части первого неравенства умножили на отрицательное число (-1) и изменили знак неравенства на противоположный.

Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х,

и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному,

например (– х⁴ – 1 )(2х – 3) ≥ 0

Разделим обе части неравенства на  выражение

р(х) = (– х⁴ – 1) = –  ( х⁴ + 1), отрицательное при всех значениях х,

тогда неравенству (– х⁴ – 1)(2х – 3) ≥ 0

равносильно неравенство  2х – 3 ≤ 0, т.к. разделили на отрицательное число и знак неравенства поменяли.

Только при соблюдении этих условий получаются равносильные неравенства, например:

Неравенство

  , неравносильно неравенству 2х – 3 ≥ 0 , т.к. выражение

р(х) = (х²–1) в зависимости от переменной х может иметь и положительный и отрицательный знак, поэтому просто умножить обе части неравенства на выражение

р(х) = (х² – 1) нельзя.

Данное неравенство равносильно двум системам неравенств