Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

 Статистические характеристики

1. а) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 7, 3, 5, 0, 1, 3, 6, 4, 2, 3. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

Решение:

Упорядочим данные:

0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7

Размах: 7–0=7

Мода: 3 – встречается чаще всего

Медиана: В данном числовом ряду 10 чисел и имеются два числа, находящиеся в середине ряда: 3 и 3. Найдем среднее арифметическое этих чисел  

Среднее арифметическое:   

     б) При проверке 10 работ было отмечено следующее число ошибок: 0, 3, 1, 7, 2, 3, 2, 5, 6, 2. Для этого ряда чисел найдите размах, моду, медиану, среднее арифметическое.

2. В таблице приведен расход электроэнергии некоторой семьей в течении года (по месяцам). Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии, размах приведенного ряда чисел, моду данного ряда чисел, медиану этого ряда чисел.

а)

б)

3. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 3а+1, а-3, 2а+8, 2а+6

Решение:

б) 2а-3, 3а-1, 4а+5, 3а+7.

4. а) Среднее арифметическое пяти чисел равно 3,7. К этим числам приписали ещё число 5,5. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Решение:

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=3,7*5

а₁+а₂+а₃+а₄+а₅=18,5

     б) Среднее арифметическое пяти чисел равно 4,6. К этим числам приписали ещё число 7,0. Найдите среднее арифметическое нового ряда, состоящего из шести чисел.

Медиана как статистическая характеристика

Рассмотрим ещё одну статистическую характеристику.

Начнем с примера. В таблице показан расход электроэнергии в январе жильцами 9 квартир:

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В полученном упорядоченном ряду девять чисел. Нетрудно заметить, что в середине ряда расположено число 78: слева от него записано четыре числа и справа от него записано 4 числа. Говорят, что число 78 является срединным числом, или, иначе, медианой, рассматриваемого упорядоченного ряда чисел (от латинского слова mediana, которое означает «среднее»). Это число считают также медианой исходного ряда данных.

Приведем другой пример. Пусть при сборе данных о расходе электроэнергии к указанным девяти квартирам добавили десятую. Получили такую таблицу:

64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

В этом числовом ряду четное число членов и имеются два числа расположенные в середине ряда: 78 и 82. Найдем среднее арифметическое этих чисел

(78+82):2= 80. Число 80 не являясь членом ряда, разбивает этот ряд на две одинаковые по численности группы – слева от него находятся пять членов ряда и справа тоже пять  членов ряда:                                                       64, 72, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93.

Говорят, что медианой рассматриваемого упорядоченного ряда, а также исходного ряда данных, записанного в таблице, является число 80.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное по середине,

а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посредине.

Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда чисел

Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n-1 членов, то медианой ряда называется n-й член, так как n-1 членов стоит до n-го члена и n-1 членов – после n-го члена. Если в упорядоченном числовом ряду содержится 2n членов, то медианой является среднее арифметическое членов, стоящих на n и  n+1 местах.

В каждом из рассмотренных выше примеров, определив медиану, мы можем указать номера квартир, для которых расход электроэнергии жильцами превосходит среднее значение, т.е. медиану.

Рассмотрим еще пример. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда:

Найдем медиану этого ряда. Так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17 и 18 членов, т.е. равна (3+4):2=3,5.

Вычисляя среднее арифметическое этого ряда, найдем, что оно приближенно равно 6,2, т.е в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций.

Мы видим, что в данном случае медиана лучше отражает реальную ситуацию, так как половину всех сотрудников составляют те, которые приобрели не более 3 акций.

Вообще среднее арифметическое зависит от значений всех членов в упорядоченном ряду данных, в том числе и от значений крайних членов, которые часто бывают наименее характерными для рассматриваемой совокупности данных. Поэтому при анализе данных сведения о среднем арифметическом часто дополняются указанием медианы.

Такие показатели, как среднее арифметическое, мода и медиана, по-разному характеризуют данные, полученные в результате наблюдений. Поэтому на практике, при анализе данных в зависимости от конкретной ситуации используют какой-либо из этих показателей, либо два из них, либо даже все три.

Медиана, биссектриса и высота в треугольнике.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника c серединой противоположной стороны.

Давайте проведем ее вместе.

Смотрите: у нас есть вершина A. Противоположная ей сторона — это сторона BC.

Нам нужно найти середину стороны BC. Точка М - середина стороны ВС.

Проводим отрезок АМ - это и есть медиана.

Важно помнить, что каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

А так как вершин три, то и медиан в любом треугольнике можно провести ровно три.

И что удивительно, все три медианы всегда, в любом треугольнике, пересекаются в одной точке!

Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Если вырезать треугольник из картона, то он будет идеально балансировать на острие карандаша, поставленного именно в эту точку.

Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне.

Давайте проведем биссектрису из вершины D. Для этого нам нужно разделить угол D пополам.

Биссектриса "разрезает" угол на два абсолютно равных угла. Этот лучик доходит до стороны EF, где появляется точка K.

Отрезок DK - биссектриса угла D.

Биссектриса делит угол пополам.

Есть очень удобное свойство: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Но это тема для отдельного урока!

Главное запомнить — биссектриса делит угол.

И снова волшебство геометрии!

Все три биссектрисы тоже пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

И, наконец, высота.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Обратите внимание: высота — это перпендикуляр.

То есть она образует прямой угол (90°) с противоположной стороной.

Давайте проведем высоту из вершины P.

Важный момент! Высота не всегда падает на саму сторону.

Посмотрите на этот тупоугольный треугольник. Здесь высота опускается не на сторону, а на ее продолжение.

Это абсолютно нормально!

И конечно, все три высоты (или их продолжения) тоже пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Подведём итог.

Медиана

Соединяет Вершину с серединой противоположной стороны. Делит сторону пополам.

Биссектриса

Соединяет Вершину с противоположной стороной. Делит угол пополам.

Высота 

Соединяет Вершину с противоположной стороной (или продолжением). Перпендикулярна к противоположной стороне.

ССЫЛКА НА ВИДЕОУРОК