Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Медиана, биссектриса и высота в треугольнике.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника c серединой противоположной стороны.

Давайте проведем ее вместе.

Смотрите: у нас есть вершина A. Противоположная ей сторона — это сторона BC.

Нам нужно найти середину стороны BC. Точка М - середина стороны ВС.

Проводим отрезок АМ - это и есть медиана.

Важно помнить, что каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

А так как вершин три, то и медиан в любом треугольнике можно провести ровно три.

И что удивительно, все три медианы всегда, в любом треугольнике, пересекаются в одной точке!

Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Если вырезать треугольник из картона, то он будет идеально балансировать на острие карандаша, поставленного именно в эту точку.

Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне.

Давайте проведем биссектрису из вершины D. Для этого нам нужно разделить угол D пополам.

Биссектриса "разрезает" угол на два абсолютно равных угла. Этот лучик доходит до стороны EF, где появляется точка K.

Отрезок DK - биссектриса угла D.

Биссектриса делит угол пополам.

Есть очень удобное свойство: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Но это тема для отдельного урока!

Главное запомнить — биссектриса делит угол.

И снова волшебство геометрии!

Все три биссектрисы тоже пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

И, наконец, высота.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

Обратите внимание: высота — это перпендикуляр.

То есть она образует прямой угол (90°) с противоположной стороной.

Давайте проведем высоту из вершины P.

Важный момент! Высота не всегда падает на саму сторону.

Посмотрите на этот тупоугольный треугольник. Здесь высота опускается не на сторону, а на ее продолжение.

Это абсолютно нормально!

И конечно, все три высоты (или их продолжения) тоже пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Подведём итог.

Медиана

Соединяет Вершину с серединой противоположной стороны. Делит сторону пополам.

Биссектриса

Соединяет Вершину с противоположной стороной. Делит угол пополам.

Высота 

Соединяет Вершину с противоположной стороной (или продолжением). Перпендикулярна к противоположной стороне.

ССЫЛКА НА ВИДЕОУРОК