Лекция. Понятие о пределе последовательности.

Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

На прошлом занятии мы начали изучать числовые последовательности. Познакомились со способами задания и свойствами числовых последовательностей. В учебниках числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

      Определение 1. Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} > x_{n  ,}  например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

    Определение 2. Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} < x_{n ,} например, последовательность заданная формулой

 является убывающей последовательностью.

      Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ,       n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности  называют монотонными последовательностями.

Ограниченные и неограниченные последовательности

      Определение 4. Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n < M

      Определение 5. Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m.

      Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n² , … заданная формулой x_n = n²,       n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0.  Однако эта последовательность неограничена сверху.

    Определение 6. Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

  Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство m < x_n < M

Например, последовательность  заданная формулой  является ограниченной последовательностью, поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

      Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.      

      

 

 

Определение 8. Число   a   называют пределом числовой последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , …  если для любого положительного числа   ε   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

    Условие того, что число   a   является пределом числовой последовательности     a₁ ,  a₂ , … a_n , … , записывают с помощью обозначения

 (читается как: «Предел   a_n   при   n,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».) То же самое соотношение можно записать следующим образом: a_n → a   при .

(читается как: «a_n   стремится к   a   при   n,   стремящемся к бесконечности»).

      Замечание. Если для последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , … найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при , то эта последовательность ограничена.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

Знаменитая задача древности состоит в том, догонит ли когда-нибудь Ахиллес идущую впереди черепаху. Несмотря на то, что Ахиллес идет в 10 раз быстрее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет вперед его ровно на одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту одну десятую, черепаха пройдет одну сотую, и так дол бесконечности.

Давайте разберем эту задачу:

Ахиллес пробегает отрезки, равные   от начального расстояния. Сложив бесконечно убывающую прогрессию

 , мы видим какой путь пробегает Ахиллес до встречи с черепахой.

Однако в этом решении не все так просто. Это решение основано на некотором бесконечном процессе. Для того, чтобы обосновать рассуждения, связанные с бесконечными процессами, была создана теория пределов. Такие математические понятия, как сумма бесконечного ряда, производная, интеграл, непрерывность могут быть определены с помощью понятия предела, что позволяет строго доказать и применять свойства этих понятий.

Определение. Последовательность  с определенным первым элементом и рекуррентным соотношением

,

где  q – постоянное число (q ≠ 1), называется геометрической прогрессией.

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Рекуррентное соотношение, определяющее геометрическую прогрессию, словами формулируется так: Всякий член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число q.

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию 

Вычислим суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии:

…

 

Получилась последовательность , ,  …

 Как всякая числовая последовательность, она может сходиться или расходиться.

Если последовательность    сходится к пределу S, то число S называют суммой геометрической прогрессии (обратите внимание: не суммой n членов геометрической прогрессии, а суммой геометрической прогрессии).

Если же эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, хотя о сумме первых n членов геометрической прогрессии можно, разумеется, говорить и в этом случае.

Таким образом, одним из наиболее простых предельных переходов является вычисление суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Он основан на рассмотрении частичных сумм

Главным является утверждение о том, что «предел последовательности  при , равен нулю».

Определение. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если ее знаменатель q по модулю меньше 1:

Такое название возникло потому, что при  общий член прогрессии   становится сколь угодно малым, «бесконечно убывает»

Если знаменатель  q  геометрической прогрессии  an   удовлетворяет неравенству |q|<1, то сумма прогрессии S существует и вычисляется по формуле

  

Понятие о непрерывности функции.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://urait.ru/
2. https://www.resolventa.ru/