Определенный интеграл. Практическое занятие №40. Вычисление определенного интеграла.

На прошлом уроке вы познакомились с понятием неопределённого интеграла.

Вспомним, что если функция имеет на промежутке , принадлежащем области определения первообразную , то множество функций вида  называют неопределённым интегралом от функции  и обозначают  (читается «неопределённый интеграл эф от икс дэ икс»).

Рассмотрим функцию   непрерывную на отрезке 

1.Разобьём данный отрезок на  n равных частей.

2.Внутри каждого отрезка выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке. Затем составим сумму из произведений 

Полученная сумма произведений называется интегральной суммой.

Геометрическая интерпретация интегральной суммы при n=5

3.Вычислим предел 

Если данный предел существует, его называют определённым интегралом от  по отрезку   и обозначают: 

Числа a и b - верхним и нижним пределами интегрирования.

Данную формулу называют Формулой Ньютона-Лейбница

Формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде:

 

Пример 1:

Вычислить интеграл 

Решение:

1.      

Подставим найденную первообразную в формулу Ньютона-Лейбница и выполним подстановку: сначала подставим b=3 в первообразную, затем а= - 1 и найдем их разность 

2.По формуле Ньютона-Лейбница: 

    

Ответ:

 

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

Зная свойства определенного интеграла рассмотрим решение следующего примера.

Пример 2:

Вычислить определённый интеграл

Решение

1.Воспользуемся свойством интеграла   и разобьём данный интеграл  на сумму и разность интегралов: 

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, имеем:

2.Найдём первообразную полученной функции применяя табличные значения первообразной

3.Для простоты решения вычислим отдельно каждый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Подставим полученные значения интегралов в формулу:

Пример 3:

Вычислить определенные интегралы:

Задания для самостоятельного решения

Вычислите определенный интеграл: