Лекция. Сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий.

Проведение любого опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий. Всякий результат (исход) опыта – событие.

Случайное событие может произойти или не произойти при заданных условиях.

Достоверное событие – произойдет непременно.

Невозможное событие – не произойдет ни прикаких условиях.

Несовместные события – когда может произойти только одно из событий.

Совместные события – одно событие не исключает другое.

Противоположные события – события, являясь его единственными исходами, несовместны.

Классическое определение вероятности.

А – событие.

Р(А) – вероятность события А

m – число благоприятных исходов (количество опытов с наступлением события А)

n – число всех исходов (количество всех опытов)

тогда вероятность наступления события А:

Исходя их формулы вероятнояти, очевидно, что

1. Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1

2. Невозможному событию соответствует вероятность Р(А) = 0
3. Достоверному событию вероятность Р(А) = 1

Подготовка к экзамену

Задача 1

Решение:

А – событие появления двух черных шаров.

Всего шаров 12+8=20,

тогда  общее число возможных случаев n = число сочетаний из 20 по 2 ( по условию задачи вынимаем 2 шара) 

Число случаев m – благоприятных исходов событию А – число сочетаний из 8 по 2 (черных шаров по условию задачи – 8, и вы можете сразу вытянуть 2 черных шара),

тогда вероятность появления 2 черных шаров будет равна

Ответ: 0,147

 

Задача 2

Решение:

А – событие появления двух бракованных деталей

Всего деталей 18,

тогда  общее число возможных случаев n = число сочетаний из 18 по 5 ( по условию задачи наугад выбирают 5 деталей из 18) 

Число случаев m – благоприятных исходов событию А

Считаем:

5 – взятых наугад деталей (по условию), значит из них должно быть 3 –  качественных и 2 – бракованных (это в идеале).

4 – это количество бракованных деталей во всей партии (по условию задачи), тогда число выборки 2 бракованных деталей – число сочетаний из 4 по 2

14 – это количество качественных деталей во всей партии (18 - 4=14), тогда число выборки 3 качественных деталей – число сочетаний из 14 по 3

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, значит число исходов, благоприятных событию А будет равно

Окончательно, искомая вероятность равна

Ответ: 0,255

 

Теоремы о сложении вероятностей.

 

где А и В – это события.

Р(А) – вероятность события А

Р(В) – вероятность события В

Р(АВ) – вероятность их совместного появления.

- ненаступление события А (событие, противоположное событию А)

 

Теоремы умножения вероятностей

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым  от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

где А и В – это события,

Р(А) – вероятность события А

Р(В) – вероятность события В

Р(АВ) – вероятность их совместного появления.

Глава 11 «Элементы теории вероятности и математической статистики», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://23.edu-reg.ru/
2. https://urait.ru/