Лекция. Дискретная случайная величина, закон ее распределения и числовые характеристики.

Понятие о законе больших чисел.

Прежде, чем приступить к изучению данной темы, познакомимся еще с некоторыми теоремами теории вероятностей и их применением

         Отличительная особенность многих вероятностных задач состоит в том, что испытание, в результате которого ожидается натупление интересующего нас события, можно многократно повторять. В каждом из таких повторений нас интересует произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии повторений важно знать, сколько именно раз может произойти или не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили 10 раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка» выпадет ровно три раза? Или же какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно четыре раза? Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему, ее принято называть схемой Бернулли.

         Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления случайного события А равна Р(А). Из курса 10 класса вам известна формула

 Р(А) + Р( ) = 1, где      - событие, противополжное событию А.

Значит Р() = 1 – Р(А). Будем рассматривать исходное испытание, как испытание только с двумя возможными исходами: один состоит в том, что событие А произойдет, а другой состоит в том, что событие А не произойдет, т.е. произойдет событие  . Для краткости назовем  первый исход (наступление события А) – успехом, а второй исход (наступление события  ) – неудачей.

         Вероятность успеха обозначим Р(А) = р, а вероятность «неудачи» обозначим через q: 

Схема Бернулли

         Рассматривают n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможныи исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» p, а вероятность «неудачи» равна q,  p + q = 1. Требуется найти вероятность Pn(k) того, что в этих n произойдет ровно k «успехов».

         Про  n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами более кратко говорят, как об n испытаниях Бернулли. Точный ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Пример 1

Каждый из четырех приятелейвыучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что:

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

б) никому не достался тот вопрос, который он выучил;

в) только одному из приятелей достался тот вопрос, который он не выучил;

г) хотя бы одному из приятелей достался тот вопрос, который он выучил.

Пример 2

Проведены n испытаний Бернулли с вероятностью p «успеха» в отдельном испытании, n>1. Найти вероятность того, что:

а) все испытания закончатся «успехом»;

б) все испытания закончатся «неудачей»;

в) «неудача» наступит ровно в двух случаях;

г) произойдет или ровно два «успеха», или ровно две «неудачи».

 

Дискретная случайная величина.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Случайную величину обозначают заглавной латинской буквой X, Y, Z…. и т.д., а их значения соответствующими маленькими буквами с индексами x₁, x_2, и т.д.

         Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины образуют счетное множество. Например, количество элементов, на которое распадается вещество в единицу времени или число студентов, присутствующих на лекции по математике. Студент присутствует независимо от временного интервала проведения лекции. Считаем всех присутствующих – множество можно посчитать.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например, сила тока в электрической цепи или время опаздания студента на лекцию – студент привязан к временному интервалу лекции.

         Случайная величина считается полностью определенной с вероятностной точки зрения, если существует соотношение между значениями случайной величины и соответствующим им вероятностями. Такое соотношение называется законом распределения случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

Закон больших чисел.

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.

Глава 11 «Элементы теории вероятности и математической статистики», учебник Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 4-е изд.,стер. – М. : ИЦ «Академия», 2017, - 256 с.

Список использованных интернет-ресурсов:

1. https://23.edu-reg.ru/
2. https://urait.ru/
3. https://spravochnick.ru/
4. http://mathprofi.ru/