Методические указания по выполнению заданий

Пример 1.1. Найти значения пределов:

Решение

Пример 1.2. Найти значение предела   

Решение

Пример 1.3. Найти значение предела 

Решение

Пример 2. Найти производные функций 1) y=2cos 2x,

2) 

3)  

Решение

Пример 3.1. Взять интегралы:

Решение

Пример 3.2. Взять интегралы 1)     2) 

Решение

Пример 4. Вычислить определенные интегралы:

Решение

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x= , х=0, y=4.

Решение.

Из чертежа (см.рис.) видно, что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.          Решая систему

получаем, что точка В пересечения прямой у=4 и кривой x=  имеет координаты (2; 4). Тогда

Окончательно

 

Пример 6.1. Решить дифференциальное уравнение 

Решение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. В результате разделения переменных получаем: 

 Теперь в соответствии с формулой получим общее решение: 

В результате интегрирования получим:    , где С=2С₁.

Пример 6.2. Найти общее решение уравнения:  

Решение

Представим данное уравнение в следующем виде 

Из данной записи можно заметить, что правая часть есть однородная функция нулевой степени, значит уравнение является однородным. Сделаем подстановку

 с учетом того, что      тогда уравнение примет вид  

Отсюда получим   .     После интегрирования получим:  

следовательно  общее решение имеет вид      .

Пример 6.3. Найти общее решение линейного однородного уравнения: 

Решение

Разделив переменные, получим  

Интегрируя данное равенство, будем иметь  

откуда   .

Пример 7.1 Найти локальные степени графа  и орграфа.

Решение

Степенью вершины v графа G называется число d(v) ребер графа, которым инцидентна эта вершина. Полустепенью исхода (захода) вершины v орграфа D называется число d⁺(v) (d ^-(v)) дуг орграфа D, исходящих из вершины v (заходящих в вершину v).

 

Пример 7.2. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Необходимо найти объединение и пересечение  множеств А и В.

Решение

Объединение множеств: A U B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}.

Тогда пересечение множеств: A ∩ B = {0, 6}.

Пример 7.3. Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти разности множеств: 1)A и B, 2) B и A.

Решение

Так как разностью множеств A и B называется множество A-В, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B, тогда: A-B = {2, 4, 6, 8}.

B-A = {11, 13, 17, 19}.

Пример 8.1.  В денежной лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша по 100 руб., пять выигрышей по 50 руб. и пятнадцать выигрышей по 20 руб. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.

Решение

Составим возможные значения X: 

х₁=100, х₂=50,х₃=20, x₄= 0.

Их вероятности соответственно равны: 

p₁=2/100=0,02;

 p₂=5/100=0,05;

p₃=15/100=0,15;

 p₄=100-(2+5+15)/100=0,78;

Закон распределения будет иметь вид 

X	0	20	50	100
P	0,78	0,15	0,05	0,02

 

Пример 8.2. Вероятность заражения куста земляники вирусом 0,2. Составьте закон распределения числа кустов, зараженных вирусом из четырех посаженных кустов.

Решение

Для составления закона воспользуемся формулой Бернулли:  

где m – число благоприятных исходов события;

n – число испытаний (всего);

p – вероятность события в каждом испытании;

q – вероятность противоположного события, т.е. q=1-p.

На основании полученных данных составим закон распределения дискретной случайной величины и представим его в таблице:

X	0	1	2	3	4
P	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

Пример 8.3. На основании закона распределения, составленного в примере 8.2 рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины M(X), D(X), s(X).

Решение

Черкалин Евгений Алексеевич, преподаватель экономических дисциплин ГБОУ КК КАСТ  Методические указания по выполнению контрольных работ для обучающихся заочной формы обучения по дисциплине ЕН.01 «Математика»