Решение квадратных тригонометрических уравнений.

Уравнение распадается на два уравнения:   и

Решение первого уравнения: ,

Решение второго уравнения:

Объединяем эти решения и получим:

Ответ:      

 

Уравнение распадается на два уравнения:   и

Решение первого уравнения: ,

Решение второго уравнения: ,

Объединяем эти решения и получим: 

Ответ:      

 

Решить уравнение

Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin(x)=t,

Определим область допустимых значений для нашей переменной:

Получим             

Решим квадратное уравнение относительно t:   

= =  

Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t

t =  , следовательно  

t =  , следовательно  

Решаем полученные уравнения относительно x:

, получаем    ,

, получаем  

Ответ: ,       .

Для решения данного уравнения введен новую переменную: cos(x)=t,

Определим область допустимых значений для нашей переменной:

Получим           

Решим квадратное уравнение относительно t:   

==  

Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t

t = 2 >1, следовательно   не имеет решений:  

В данном случае решать уравнение   является грубейшей ошибкой, т.к.   , а arccos 2 вообще не имеет смысла!

t =  , следовательно , решаем полученное уравнение:

,

Ответ: .

В данном уравнении необходимо применить основное тригонометрическое тождество, для того чтобы прийти к одной функции

 Приводим к функции синуса, т.к. проще представить

Получаем уравнение:

Раскрываем скобки:

, приводим подобные слагаемые:

, умножим на (-1) для простоты решения:

Для решения данного уравнения введен новую переменную: sin(x)=t,

Определим область допустимых значений для нашей переменной:

Получим             

Решим квадратное уравнение относительно t:   

Проверяем корни нашего уравнения на область допустимых значений t

t =  < -1, следовательно,     не имеет решений:  

t =  , следовательно,       ,    ответ

Ответ: 

Разберемся с областью определения для решений данного уравнения.

Область определения тангенса , Область определения котангенса , Объединив эти промежутки получим: , на чертеже обозначено выколотыми точками.

 

Для решения данного уравнения используем тригонометрическое тождество        ,    перепишем уравнение:

, получим   , далее

, произведем замену

Получим             

Решим квадратное уравнение относительно t:  

t=1, следовательно           ,

t= -2, следовательно        

Ответ:   ,  

Решение простейших тригонометрических уравнений Sin x = m,  |m| ≤ 1

    (если | m | > 1, то уравнение не имеет решений)

Множество корней уравнения можно записать одной формулой

(1)

При решении тригонометрических уравнений

Sin x = m   необходимо учитывать, что главный угол множества решений будет находиться в промежутке

- π/2 ≤ arcSin m ≤ π/2, остальное множество решений находится путем прибавления периода синуса к найденному значению главного угла, см. формулу (1)

Также полезно помнить решения частных случаев

Примеры

 

1.         , применяем формулу (1)

 

Ответ: 

 

2.      

 

  

 

Ответ:

 

3.          

 

 , разделим левую и правую  часть на 2

 

Ответ:

 

4.             

 

   

 , умножим левую и правую  часть на 3

 

Ответ:

 

5.           

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

            и умножим обе части уравнения на -1

Это лучше сделать, чтобы коэффициент при x стал положительным

    

 

  

  умножим на 2 левую и правую  части

   

Ответ:  

 

6.                        

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

Ответ:

 

7.                       

Применяем формулу (1) и сразу записываем ответ, оставляя в записи функцию ArcSin, т.к. данное значение не табличное

 

Так как   , то запишем ответ в виде

  

 

8.                          

Применяем формулу (1)

 ,

умножаем левую и правую  часть уравнения на 3

 

Обратите внимание, что  умножается угол    , а не значение функции ( )

Делим левую и правую  часть на 2

 

Ответ:

 

9.                           

Функция синус нечетная поэтому запишем уравнение следующим образом

 , умножим обе части уравнения на ( -1)

 

 

 

  

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

 

 

10.            

Поменяем местами слагаемые:

 

 

 

  

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

 

Разделим на 2 левую и правую части

 

Ответ:  

 

11.               

Запишем

     и  далее       (так как функция Sin x нечетная)

Умножим на (-1) левую и правую части

 

 

 

 

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

 

Умножим на 2 левую и правую части уравнения

 

Ответ :   

 

12.                   

Перенесем        в правую часть уравнения с противоположным знаком

   

Разделим левую и правую часть на   

   

Решаем аналогично уравнения 10

Поменяем местами слагаемые:

 

 

 

  

Перенесем в правую часть     с противоположным знаком

 

Разделим на 2 левую и правую части

 

Ответ:  

13.              

Так как функция нечетная, то

 

Умножаем на (-1) обе части уравнения

 

и записываем решение (уравнение Sin y = 0 – частный случай, решение данного уравнения ), поэтому

 

 

 

Ответ: 

14.             

Перепишем

Уравнение вида Sin y = - 1 также частный случай

Решением данного уравнения является    

Поэтому

 

Далее

 

 

Ответ:

15.              

Извлечем квадратный корень и получим совокупность уравнений:

 

совокупность уравнений, это не система уравнений. Здесь решение каждого уравнения являются решениями исходного (не надо искать общее решение)

  

Можно записать решение уравнения следующим образом:

 

Ответ:    

16.            

Раскрывая знак модуля получим

  

Применяя формулу (1) запишем решение

   или

 

Ответ: