Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ

Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

Задачи на треугольники (и всё, что с ними связано)

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

  , подставляем значение   

И находим длину стороны этого треугольника

  значит, а = 48

(одинаковые элементы справа и слева от знака «=» взаимно уничтожаются)

Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

О чем задача –

1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
2. Об окружности, описанной вокруг этого треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»

похожий чертеж:

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус описанной окружности

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 30^о. Ответ дайте в градусах.

О чем задача –

1. О треугольнике, вокруг которого описана окружность
2. Об описанной окружности, центр которой лежит на стороне АВ

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то    треугольник – прямоугольный, а сторона, на которой лежит центр описанной окружности - гипотенуза этого треугольника

Смотрим на чертеж – угол АСВ = 90^о, угол ВАС = 30^о

Так как сумма углов треугольника равна 180^о и АСВ = 90^о, значит

угол АВС = 90^о – 30^о = 60^о

Чертеж на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1 х 1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

О чем задача –

1. О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге
2. О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Находим, как вычислить площадь треугольника – чертеж и формула

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Формула площади треугольника

а = 7 ед.

h = 4 ед.

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

О чем задача –

1. О прямоугольном треугольнике
2. О гипотенузе данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Гипотенуза – напротив прямого угла и это самая длинная из сторон

Применим формулу

  тогда с = 17

(Иногда полезно знать Пифагоровы тройки, но на экзамене лучше решать по формуле)

Рассмотрим похожую задачу

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

О чем задача –

1. О прямоугольном треугольнике
2. О катете данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Отсюда катет равен

  (таблица квадратов есть в справочных материалах)

Тогда b = 9

..

Дано:
   треугольник BCD - равнобедренный
   Угол ЕDF = 60^о
АВ - медиана
Найти углы треугольника BCD

Решение

Угол EDF = углу ADB , как вертикальные, значит   угол ADB=60^о
треугольник BCD - равнобедренный ,  угол ACB = углу ADB = 60^о , как углы при основании равнобедренного треугольника.
Рассмотрим  треугольник BCD
  Угол C+ угол B+угол D =180^о (по теореме о сумме углов треугольника)
  60^о+ угол В+ 60^о = 180^о ,
  угол В = 180^о - 120^о = 60^о

Ответ: 60^о, 60^о , 60^о

Дано:
  треугольник АВС,  угол А=  углу В,
  Угол BCD = 80^о
Найти углы  треугольника АВС

Решение

Угол BCD - внешний угол треугольника АВС. Внешний угол треугольника - угол, смежный с одним из углов треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Значит угол BCD = угол А + угол В = 80^о, 

Угол А = углу В (по условию), значит угол А=углу В = 80^о : 2 = 40^о

^{​​​​​}Сумма углов треугольника равна 180^о

Значит угол  АСВ = 180^о - 80^о = 100^о
Рассмотрим    АВС,   угол А=  углу В  (по условию).
Сумма углов треугольника равна 180  . 

Ответ: 100^о, 40^о, 40°.

Дано:
треугольник ABD - равнобедренный
ВС - высота
угол BDE = 150^о
Найти углы треугольника ABD

Решение

Угол BDE и угол BDC смежные

Значит   угол BDC = 180^о -  угол BDE = 180^о - 150^о = 30^о.
треугольник АВD - рановбедренный  (по условию), значит  угол BAC = углу  BDC  =30^о
(как углы при основании равнобедренного треугольника).

  угол A + угол B + угол  D = 180^о (по теореме о сумме углов треугольника)
  30^о + угол B + 30^о  = 180^о,
  Угол В = 180^о - 30^о - 30^о = 120^о

Ответ: 30^о, 30^о, 120^о. 

Дано:
треугольник ABD - равнобедренный ,
ВС - медиана
угол DBF = 60^о
Найти углы треугольника

Решение

Угол DBF - внешний угол треугольника ABD. 

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним. 

Значит угол BDC + угол BAC = углу DBF = 60^о 

Угол BDC = углу BAC как углы при основании равнобедренного треугольника, угол BDC= углу ВАС = 60^о : 2 = 30^о

Сумма углов треугольника равна 180^о 

Значит  угол DBA = 180^о -  угол  DBF = 180^о - 60^о = 120^о  

Ответ: 120^о, 30^о, 30^о