Школьная математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ


Геометрия. Подобие.

Тэги: геометрия , теорема фалеса , подобие



Подобие. Определение. Теорема Фалеса. Подобные треугольники (определение). Решение задач.



Урок 1. Теорема Фалеса. Подобие.

Определение 1.

Отрезки AB и CD называются пропорциональными отрезкам A1B1 и C1D1

если    

Теорема Фалеса.

При пересечении сторон угла параллельными прямыми на сторонах угла образуются пропорциональные отрезки

Определение 2.

Если в ∆АВС и ∆А1В1С1 углы соответственно равны - ∟А = ∟А1, ∟В = ∟В1,

∟С = ∟С1 – то противолежащие соответственно равным углам стороны (в ∆АВС и ∆А1В1С1) – АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и А1С1 – называются сходственными.

Определение 3.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Подобие треугольников записывают так: ∆АВС ~ ∆А1В1С1.

Итак,

∟А = ∟А1, ∟В = ∟В1, ∟С = ∟С1

 

где k – отношение сходственных сторон, называемое коэффициентом подобия.

Решение задач.

Чтобы найти неизвестные стороны подобных треугольников нужно:

  1. Записать пропорциональность сходственных сторон (сходственные стороны лежат против равных углов).
  2. Подставить значение известных сторон.
  3. Вычислить неизвестную сторону, решив пропорцию.

 

Задача

Дано:

∆АВС ~ ∆MPK, (AB и MP, BC и PK – сходственные стороны). AB=12, ВC=15, PK=40, MK=24

Найти: MP и АС.

Решение:

Здесь А→М, В→Р, С→К.

Так как ∆АВС ~ ∆MPK и AB и MP, BC и PK – сходственные стороны (по условию), то    

Тогда     

     

 Из пропорции

  

Основное свойство пропорции:  МР∙15 = 12∙40, отсюда

 

Из пропорции

,

Основное свойство пропорции:

АС∙40 = 15∙24, отсюда

 

Ответ: АС=9, МР=32

Тест на платформе Skillspace  Пропорциональные отрезки. Подобные треугольники

Геометрия. Векторы

Тэги: геометрия , вектор

Вектор - это отрезок, имеющий направление, поэтому, при решении задач надо придерживаться некоторых правил

Нельзя "крутить" вектор просто так: повернете - это уже будет совсем другое направление.

При сложении векторов используйте правило треугольника, параллелограмма и многоугольника

Пользуйтесь правилами и законами сложения векторов.

Например,

 

 

 

 

 

 

 

Геометрия ОГЭ. Треугольник.

Тэги: геометрия огэ , геометрия , треугольник



Треугольник, описанная окружность, чертеж на клетчатой бумаге.



Подготовка к ОГЭ

Решение задач по геометрии ОГЭ (часть 1)

Задачи по геометрии ОГЭ (1 часть) можно решить в одно действие, используя тот справочный материал, который вам предоставляется на экзамене.

 

 

Задачи на треугольники (и всё, что с ними связано)

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника

                                                                                

О чем задача –

  1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
  2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

  , подставляем значение   

И находим длину стороны этого треугольника

  

  значит, а = 48

(одинаковые элементы справа и слева от знака «=» взаимно уничтожаются)

 

 

 

Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

                                                                                                

О чем задача –

  1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
  2. Об окружности, вписанной в этот треугольник

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия» похожий чертеж:

а – сторона нашего треугольника,

r – радиус вписанной окружности

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус вписанной окружности

 

 

Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

                                                                              

О чем задача –

  1. О равностороннем треугольнике, у этого треугольника все стороны равны и ещё такой треугольник называется правильным
  2. Об окружности, описанной вокруг этого треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»

похожий чертеж:

Подставляем в формулу значение стороны и вычисляем радиус описанной окружности

 

 

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 30о. Ответ дайте в градусах.

                                                                                    

О чем задача –

  1. О треугольнике, вокруг которого описана окружность
  2. Об описанной окружности, центр которой лежит на стороне АВ

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то    треугольник – прямоугольный, а сторона, на которой лежит центр описанной окружности - гипотенуза этого треугольника

Смотрим на чертеж – угол АСВ = 90о, угол ВАС = 30о

Так как сумма углов треугольника равна 180о и АСВ = 90о, значит

угол АВС = 90о – 30о = 60о

 

Чертеж на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

                                                                                   

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1 х 1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Считаем сколько клеток на чертеже соответствует большему катету – 7 клеток

Так как сторона клетки равна 1, то длина большего катета равна 7

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

                                                                                       

О чем задача –

  1. О треугольнике, который начерчен на клетчатой бумаге
  2. О площади данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия», «Площади фигур»

Находим, как вычислить площадь треугольника – чертеж и формула

При решении подобных задач надо обратить внимание на размер клетки

В данном случае 1х1, т.е. сторона клетки соответствует 1

Формула площади треугольника

 

а = 7 ед.

h = 4 ед.

 

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

О чем задача –

  1. О прямоугольном треугольнике
  2. О гипотенузе данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Гипотенуза – напротив прямого угла и это самая длинная из сторон

Применим формулу

  тогда с = 17

(Иногда полезно знать Пифагоровы тройки, но на экзамене лучше решать по формуле)

 

Рассмотрим похожую задачу

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

                                                                        

О чем задача –

  1. О прямоугольном треугольнике
  2. О катете данного треугольника

Смотрим в справочный материал и находим в разделе «Геометрия»,  

«Прямоугольный треугольник» теорему Пифагора

Отсюда катет равен

  

  (таблица квадратов есть в справочных материалах)

Тогда b = 9

 

 

 

 

Геометрия. Площади фигур.

Тэги: площадь , геометрия , формула площади

Тест "Площади фигур. Теорема Пифагора."